2011. 4. 11. 14:05 Daily Life

어제밤에 카오스하다가 플캐 자게에서 본건데 -_-
오늘 아침에 보니까 실시간 검색어에 있더라?!

작은 수식 하나가 이슈가 되다니 놀라운 일인듯 ㅋㅋ

근데 내가 생각해도 2가 맞는 답인 것 같아...

솔직히 분배법칙은 드립이고 그냥 공대생 관점에서 봤을때
 / 기준으로 앞에꺼는 무조건 분자, 뒤에꺼는 분모임... 단위식 만지다 보면 저절로 습관됨...
그래서 2(9+3) 이 한 덩어리이기때문에 답은 2가 맞음 ㅋㅋㅋ


Mathematical Reviews Database - Guide for Reviewers
 
"multiplication indicated by juxtaposition is carried out before 
division." Thus, in general, for any variables a, b and c, we would 
have  a/bc = a/(bc) (assuming, of course, that b and c are nonzero).

요약하자면, 병치로 표시된 곱셈은 나눗셈 이전에 수행한다..
라고 하네요. 이건 뭐 한덩어리로 보고 자시고 간에 그렇다는데...
(전문은 글 하단에 있음...)


밑에꺼는 어딘가에서 퍼온건데
참 직관적으로 써놨다. 직관적으로 봐도 2가 맞음 ㅋㅋㅋ

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초등학교 4학년 1학기 때 수학에서 혼합계산을 배웁니다.

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 계산은 앞의 것부터 먼저 하라고 되어 있죠.

이 부분을 초등학교 시절 선생님도 강조하여 가르칠 가능성이 높습니다.

제가 함정에 빠졌다 하셨지만, 함정은 이 부분일 것입니다.

 

그리고 중학교 1학년 때, bc는 b와 c의 곱이라고 배웁니다. bc를 하나의 개체로 보는 것이죠. 

a÷bc는 a를 b로 나눈 후 c를 곱한 것, 즉 a÷b×c가 아니고

a를 b와 c의 곱, 즉 bc로 나눈 것입니다. 

이때 배운 곱을 단순히 곱셈기호를 생략하는 것으로 생각하면 착오를 일으킬 수 있습니다.

예를 들어보겠습니다. 제시된 문제는 이렇게 바꿀 수 있습니다.

 

 

 

이에 대한 저의 풀이입니다.

 

 

중학교 때 bc를 b×c에서 ×를 생략하여 나타낸 것이라고 가르침을 받았고,

초등학교 때 곱셈과 나눗셈의 혼합계산은 앞의 것부터 가르침을 받았으니

두가지가 중첩되어 저러한 오류를 충분히 많은 사람들이 범할 수 있다고 생각합니다.

 

표기의 직관성 측면에서 논하자면,

어떤 하나의 대상에 대한 두가지 이상의 서로 다른 수학적 표기 모두 수학 체계를 무너뜨리지 않을 경우

가능한 한 인간의 직관과 부합하는 표기로 정하여 사용하는 것이 마땅합니다.

 

이 둘 중 어느 것이 더 생각하기 편안하신가요? 혹은 어느 것이 더 생각하기 불편하신가요?

사실 여부를 떠나서, 저는 왼쪽 표기는 불편하고 오른쪽 표기는 직관적이라는 것에 한표를 던지겠습니다.

왼쪽 표기가 맞는 것이라면, 바로 위의 제 풀이는 틀린것이 됩니다.

하지만, 상당히 많은 사람들이 저와 같은 오류를 저지르겠지요.

즉, 왼쪽과 같은 표기는 직관에 어긋나는 것이고,

직관성 측면에서 봤을 때 오른쪽의 표기를 따르도록 정하는 것이 타당하거니와

만약 현재 왼쪽의 표기가 맞다면, 사람들이 저와 같은 함정에 빠지지 않도록 하기 위해서라도

오른쪽의 표기로 바꿔야 할 것입니다.

 

저와 같은 생각을 가지신 분은 다음 등식을 보면 상당히 불편하실 것입니다.

 

반면에 이 등식을 보고 편안함을 느끼겠지요.

 

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표기의 편리성 측면에서 논하자면,

곱셈을 왜 생략을 할까요? 쓰기 귀찮아서 그렇겠죠?

 

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원본 크기로 보시려면 그림을 클릭하세요.

 

저는 이 글을 쓰면서 생각을 확고히 할 수 있게 되었습니다.

미천한 실력으로 이 두 표기 중 어느것이 수학체계를 무너뜨릴 수 있다고는 단정하지 못하겠지만

여기서 오른쪽의 표기가 더 직관적이고 더 편리하며,

정말로 왼쪽 표기가 맞는 것이라면 지금의 표기는 오른쪽보다 불편하고, 상당히 이상한 것이라는 겁니다.


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Mathematical Reviews Database - Guide for Reviewers
 
"multiplication indicated by juxtaposition is carried out before 
division." Thus, in general, for any variables a, b and c, we would 
have  a/bc = a/(bc) (assuming, of course, that b and c are nonzero).

on p. 84 of Allendoerfer and Oakley, _Principles of Mathematics_, 1969 :

     (a / b) x (c / d) = a c / b d

which is generally true only if the right side is interpreted as:

     (a c) / (b d)

Notably, the above equality would *not* be generally true were we to 
interpret the right side as:

     [(a c) / b] d

some page which states that one should "do multiplication and division as they come." However, perhaps this page is tacitly ignoring "implicit multiplication" (by juxtaposition) and only considering "explicit multiplication" (via some multiplication sign) - a distinction is made at:

  Order of Operations - Dr. Math Archives
  
http://mathforum.org/dr.math/problems/wuandheil.05.19.99.html   

Unfortunately, in every instance where I have seen someone assert the 
rule that one should first perform multiplication and division as they 
occur (from left to right), I have yet to see them give an example 
that *really* puts this rule to the test. Specifically, how would they 
eval!uate:

     6 / 2 x 3

According to their rule, we would obtain:

     6 / 2 x 3 = (6 / 2) x 3 = 9

But, wouldn't it be less confusing to follow the AMS convention for
*all* multiplications (implicit and explicit) thereby obtaining:

     6 / 2 x 3 = 6 / (2 x 3) = 1

- just as we would obtain:

     a/bc = 1

when   a = 6, b = 2 and c = 3?

For when dealing with numerals rather than variables, juxtaposition is 
not an option for indicating multiplication (here, "23" would be read 
as "twenty-three" rather than "2 times 3").

This approach also makes practical sense, since it frequently happens 
that one has a series of multiplications divided by another series of 
multiplications (e.g., consider a binomial coefficient); for example, 
one might desire to write the fraction:

     5 x 4 x 3
     ---------
       2 x 1

more compactly (and without parentheses) as:

     5 x 4 x 3 / 2 x 1

especially if this is to be written in-line (i.e., *within* the 
surrounding text) rather than separately displayed as above.

Or, consider the convenience obtained when dealing with quantities 
expressed in scientific notation. For example, without resorting to 
parentheses, we would interpret:

     6 x 10^9 / 3 x 10^5

as

     (6 x 10^9)/(3 x 10^5) = 2 x 10^4

rather than:

     [(6 x 10^9)/3] x 10^5 = 2 x 10^14

Surely the former is typically the intended interpretation.

As I remember them being taught to me, the rules giving the precedence 
order for the four arithmetic operations are:

  (1) all multiplication (in any order)
  (2) all division, as they occur from left to right
  (3) all addition and subtraction, as they occur from left to right

Moreover, even though an expression!_(or traditional) for human mathematical writing.

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posted by 라피